Me encuentro escribiendo grandes e interesantes noticias para este blog, luego de un tiempo de profunda meditación :-)

En los próximos días se publicarán varias.

¡ Salud !

Ya la próxima semana es el CIMENICS

Solo faltan unos días para la realización del Congreso Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas.

Econometría: Una linea de investigación entre la economía y las matemáticas.

La econometría puede definirse como el análisis cuantitativo de los fenómenos económicos actuales basados en los presentes desarrollo de las teorías y observaciones, relacionados con métodos de inferencia apropiados. También suele definirme mas ambiguamente como el estudio sistemático de los fenómenos económicos usando datos observados.

Sin embargo, creo que la mas adecuada (según mi criterio) sería:

“La econometría es una disciplina que intenta a partir de datos obtenidos empíricamente, encontrar relaciones económicas en forma matemática para realizar predicciones, tomar desiciones, explicar fenómenos económicos y políticas de acción ocurridos ya algún evento”.

Esta disciplina tiene raíces matemáticas sólidas, no solo en estadística (inferencia), sino que en la actualidad, hace uso de resultados importantes del álgebra lineal, sistemas dinámicos, análisis de series temporales, minería de datos, reconocimiento de patrones, sistemas complejos, inteligencia artificial, algoritmia, teoría de juegos y mas. Por lo tanto, un profesional de la econometría es un matemático con altos profundos en la mayoría áreas anteriormente mencionadas y que a su vez es un experto en economía.

Es claro que los intelectuales deben aportar nuevas soluciones a las problemáticas económicas actuales, vistas hace un par de años con la espantosa caída de la economía estadounidense, reflejada en las fuertes bajas en su bolsa de valores, y la mas reciente crisis de la euro-zona [1-3].

Así, como hemos mencionado anteriormente, la econometría como tal, pretende dar respuestas empíricas a relaciones económicas. Para ello son necesarios tres ingredientes:

• Teorías Económicas (al menos una).
• Datos Económicos.
• Métodos Estadísticos (Principalmente).

La gran disponibilidad de bases de datos económicos y la potencia de los ordenadores actuales ha servido como piedra angular para el extraordinario auge en esta disciplina, llegando en la actualidad a ser una disciplina sumamente popular, aunque aun sigue llena de resultados por descubrir.

Esperamos que esta brevísima nota los incite a estudiar econometría.

Un artículo relacionado:
http://planetafisico.blogspot.com/2012/01/econofisica-cuando-las-herramientas-de.html

Lecturas recomendadas
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Crisis_de_la_deuda_soberana_europea
[2] http://www.bbc.co.uk/mundo/a_fondo/cluster_crisis_eurozona.shtml
[3] http://www.cnnexpansion.com/economia/2011/12/30/la-eurozona-busca-esperanza-para-2012

Libros Recomendados:

• Badi H. Baltagi , “Econometrics ”, Springer, 2008.
  
  
• Herman J. Bierens , “Introduction to the Mathematical and Statistical Foundations of Econometrics”, Pennsylvania State University, USA, 2003.

Si te ha gustado este artículo, compártelo en facebook, twitter, google+, coméntalo, envíalo por correo, y si quieres mas información, pídela. Si no te gusta, critícalo. Tu tienes completo control sobre los contenidos de este blog.

Optimización Combinatoria: Una disciplina emergente y prometedora.

(hacer click en la imagen para ver la animación)

Podemos decir que la optimización combinatoria es una rama que esta entre las matemáticas discretas, la teoría de algoritmos, la teoría de probabilidades y la optimización como tal. En la actualidad es un área extremadamente activa, a pesar de contar solo con aproximadamente 60 años de vida.

Otras disciplinas que fundamentan la optimización combinatoria son, la teoría combinatoria, la investigación de operaciones y la teoría de la computación y la computabilidad (para formalizar los algoritmos, haciendo el análisis asintótico de los algoritmos).

Esta teoría emerge de la necesidad de los investigadores en múltiples disciplinas por calcular máximos y/o mínimos de funciones que se resistían a los métodos tradicionales, como los multiplicadores de Lagrange o el simplex. Más aún, en algunas disciplinas, las funciones objetivo puede que no sean funciones de variable real, y puede que sus argumentos vivan en espacios mucho mas complejos, por ejemplo la modularidad en redes complejas, cuyo dominio es el conjunto de todas las posibles particiones de un conjunto discreto dado (el conjunto de nodos de un grafo).

En la actualidad, en esa maravillosa danza sinérgica de las disciplinas, empiezan a jugar un rol importante disciplinas como la inteligencia artificial, redes neuronales, teoría de reconocimiento de patrones y programación genética y evolutiva, re-impulsando el área y asegurando un activo y productivo futuro para los investigadores que incursionan actualmente en ella.

Libros recomendados:

• Bernhard Korte , Jens Vygen , “Combinatorial Optimization : Theory and Algorithms ”, Springer, 2002.

Nota corta: ¿Cómo estudiar matemáticas?

Leyendo a Confucio me encontré con la siguiente cita, que quise compartir inmediatamente con mis lectores. La cita en cuestión es:

“Escuché y Olvidé. Vi y recordé . Lo hice y lo entendí.

Básicamente, estas palabras plasman lo que es el arte de estudiar matemáticas (por seres normales). Al principio escuchamos la clase, pero la olvidamos si no la estudiamos. Cuando la empezamos a estudiar, recordamos los detalles y los artificios realizados por los profesores. Finalmente, sabemos que lo entendemos todo, cuando podemos reconstruir la solución de un problema, o la demostración de un resultado.

Para cerrar, una lectura sumamente recomendada:

- G. Polya, “Como plantear y resolver problemas”, Trillas 1965.

Si te ha gustado este artículo, compártelo en facebook, twitter, google+, coméntalo, envíalo por correo, y si quieres mas información, pídela. Si no te gusta, critícalo. Tu tienes completo control sobre los contenidos de este blog.

Hypatia de Alejandría

Nació: alrededor de 370 DC en Alejandría, Egipto
Murio en: marzo del 415 DC en Alejandría, Egipto

Fue la primera mujer en hacer una contribución sustancial al desarrollo de las matemáticas. Hypatia fue la hija del matemático y filosofo Theon de Alejandria y es casi seguro que ella estudió matemática bajo la guía e instrucción de su padre.Cabe destacar que Hypatia se convirtió en jefe de la escuela platónica de Alejandría en el año 400. Allí daba conferencias sobre matemática y filosofía, en particular , enseñaba la filosofía del neoplatonismo. Hypatia basaba sus enseñanzas en Plotinus, el fundador del Neoplatonismo, y en Lambrichus que fue el desarrollador del Neoplatonismo alrededor del año 300 AC.

Plotinus enseñaba que hay una realidad ultima que está mas allá del alcance del pensamiento o de la lengua. El objeto de la vida era apuntar a esta realidad última que nunca puede ser descrita con precisión. Plotinus hizo hincapié en que la gente no tenía la capacidad mental para comprender plenamente la realidad última en sí ni de las consecuencias de su existencia. Lambrichus distinguió otros niveles de la realidad en una jerarquía de niveles por debajo de la realidad última. Hubo un nivel de realidad correspondiente a cada pensamiento distinto de la que la mente humana era capaz. Hypatia enseñó estas ideas filosóficas con un mayor énfasis científico a seguidores anteriores del neoplatonismo. Ella es descrita por todos los comentaristas como una maestra carismática.

Hypatia llego a ser un símbolo de aprendizaje y ciencia que los primeros cristianos identificaron como paganismo. Sin embargo, entre los alumnos que ella enseño había muchos cristianos importantes. Uno de los mas famosos era Synesius de Cyrene que luego se convertiría en obispo de Ptolemais. Muchas de las cartas que Synesius escribía a Hypatia se han conservado y se ve que el estaba lleno de admiración y respeto por las enseñanzas de Hypatia y sus habilidades científicas.

En 412 DC Cyril (después san Cyril) se convirtió en patriarca de Alejandría. Sin embargo el prefecto Romano de Alejandría era Orestes. Estos dos se convirtieron en rivales políticos puesto que la iglesia y el estado luchaban por el control. Hypatia era amiga de Orestes y esto junto a los prejuicios en contra de sus puntos de vista filosóficos (que fueron vistos por los cristianos como paganos), llevaron a Hypatia a convertirse en el punto focal de los disturbios entre los cristianos y los no cristianos. Heath [4] escribe:

“... por su elocuencia y autoridad ... alcanzo tal influencia que el cristianismo se consideraba amenazado ...”

Unos años más tarde, de acuerdo con un reporte, Hypatia fue brutalmente asesinada por los monjes de Nitria, que eran una secta fanática de los cristianos partidarios de Cyril. Según otro relato (de Sócrates Escolástico) fue asesinada por una muchedumbre de alejandrina bajo el liderazgo de Peter el lector. Lo que sí parece indiscutible es que fue asesinada por los cristianos que se sentían amenazados por su erudición, aprendizaje y profundidad del conocimiento científico. Este evento parece ser un punto de inflexión como se describe en [2]:

“Sea cual sea la motivación precisa del asesinato, esto genero posteriormente la partida de muchos estudiosos y marcó el inicio de la decadencia de Alejandría como el centro del saber mas importante en la antigüedad.”

No hay evidencia de que Hypatia emprendiera investigaciones matemáticas originales. Sin embargo, ella ayudo a su padre, Theon de Alejandría, en la escritura del comentario parte once en Almagesto de Ptolomeo. También se cree que ella ayudó a su padre en la producción de la nueva versión de Los Elementos de Euclides, que se ha convertido en la base de todas las ediciones posteriores de Los Elementos Euclides. Heath escribe sobre la edición de Teón e Hypatia de esta obra [4]:

“... mientras que hace solo adiciones insignificantes al contenido de Los Elementos, trató de eliminar las dificultades que puede ser apreciadas por los alumnos en el estudio del libro, como un editor moderno podría hacer en la edición de un libro de texto clásico para su uso en las escuelas. No cabe duda de que su edición fue aprobada por sus alumnos en Alejandría para quienes fue escrito, así como por griegos posteriores que lo utilizaron casi exclusivamente ...”

Además de los trabajos en conjunto con su padre, se conoce por Suidas que Hypatia escribió comentarios sobre la aritmética de Diofanto, sobre las cónicas de Apolonio, y sobre trabajos astronómicos de Ptolomeo. El pasaje en Suidas no esta nada claro y la mayoría de los historiadores dudan que Hypatia escribió algún comentario sobre Ptolomeo, que no sean los trabajos que ella escribió junto a su padre.

Todos los trabajos de Hypatia se han perdido a excepción de los títulos y algunas referencias a estos. Sin embargo, no se le conoce obras puramente filosóficas, solos trabajos en matemática y astronomía. Basado en estas pequeñas cantidades de evidencias en [8] y [9], Deakin argumenta que Hypatia fue una excelente compiladora, editora y conservadora de los primero trabajos matemáticos.

Como se menciona anteriormente, algunas cartas de Synesius a Hypatia existen. Este le pedía consejos sobre la construcción de un astrolabio y un hidroscopio.

Charles Kingsley la convirtió en la heroína de unas de sus novelas: Hypatia ó Nuevos enemigos con una cara vieja. Como escribe Kramer en [1]:

“... tales trabajos han perpetuado la leyenda de que ella no solo era intelectual sino también bella, elocuente y modesta ...”

Articulo de: J J O'Connor and E F Robertson (Abril 1999)

REFERENCIAS DE HYPATIA

1. E A Kramer, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 970-1990). http://www.encyclopedia.com/topic/Hypatia.aspx
2. Biography in Encyclopaedia Britannica. http://www.britannica.com/eb/article-9041785/Hypatia
3. M Dzielska, Hypatia of Alexandria (Harvard, 1995).
4. T L Heath, A History of Greek Mathematics (2 Vols.) (Oxford, 1921).
5. B L van der Waerden, Science Awakening (New York, 1954).
6. L Cameron, Isidore of Miletus and Hypatia of Alexandria: On the Editing of Mathematical Texts, Greek, Roman and Byzantine Studies 31 (1990), 103-127.
7. E Craig (ed.), Routledge Encyclopedia of Philosophy 4 (London-New York, 1998), 596-597.
8. M A B Deakin, Hypatia and her mathematics, Amer. Math. Monthly 101 (3) (1994), 234-243.
9. M A B Deakin, Hypatia of Alexandria, Mathematics Education 8 (3) (1992), 187-191.
10. H Gorenflo, Zum Jahr der Frau : von Hypatia bis Emmy, Praxis Math. 17 (7) (1975), 173-176.
11. I Mueller, Hypatia (370?-415), in L S Grinstein and P J Campbell (eds.), Women of Mathematics (Westport, Conn., 1987), 74-79.
12. A W Richeson, Hypatia of Alexandria, National Mathematics Magazine 15 (1940), 74-82

Si te ha gustado este artículo, compártelo en facebook, twitter, google+, coméntalo, envíalo por correo, y si quieres mas información, pídela. Si quieres recibir estos artículos por correo electrónico, subscríbete a este blog usando la opción que está en el panel derecho. Finalmente, si no te ha gustado, critícalo. Tu tienes completo control sobre los contenidos de este blog.

El Algoritmo de Doob Gillespie

Fuente:
http://planetafisico.blogspot.com/2011/12/el-algoritmo-de-doob-gillespie.html

En la teoría de probabilidad, el algoritmo de Gillespie (u ocasionalmente el algoritmo de Doob-Gillespie) genera una trayectoria estadísticamente correcta (una posible solución) de una ecuación estocástica. Fue creado por Joseph L. Doob y otros (circa 1945) y popularizado por Dan Gillespie en 1977 en un articulo donde se utiliza para simular sistemas químicos o bioquímicos de reacciones de manera eficiente y precisa usando un limitado poder computacional. A medida que las computadoras se hicieron más rápidas, el algoritmo se empezó a utilizar para resolver sistemas complejos. Matemáticamente, es una variación del método de Monte Carlo dinámico y similar al método de Monte Carlo cinético y es ampliamente utilizado en sistemas biológicos computacionales.

HISTORIA

El proceso que condujo al algoritmo reconoce varios pasos importantes. En 1931, Andrei Kolmogorov introduce las ecuaciones diferenciales correspondientes a los tiempos de evolución de los procesos estocásticos que proceden por saltos, que hoy en día se conoce como la ecuación de Kolmogorov (proceso de saltos de Markov) (una versión simplificada que se conoce como ecuación maestra en ciencias naturales). Fue William Feller, en 1940, que encontró bajo que condiciones la ecuación de Kolmogorov admite probabilidades como soluciones. En su teorema I (en su trabajo de 1940) establece que el siguiente tiempo de salto esta distribuido exponencialmente y la probabilidad del siguiente evento es proporcional a la velocidad. Como tal, establece la relación de la ecuación de Kolmogorov con los procesos estocásticos. Más tarde, Doob (1942,1945) extiende las soluciones de Feller mas allá del caso de los procesos de puros saltos. El método fue implementado computacionalmente por David George Kendall (en 1950) usando una computadora Manchester Mark I y después fue usado por M.S. Bartlett (en 1953) en su estudio de brotes epidémicos. Gillespie (en 1977) trabajo haciendo caso omiso de esta historia como el escribe “Cabe destacar, sin embargo, que la ecuación maestra en si no juega ningún rol en la derivación o en la implementación del algoritmo de simulación estocástica”. Gillespie entonces procede a través de un argumento heurístico para introducir el algoritmo.

IDEA DETRÁS DEL ALGORITMO

Tradicionalmente las ecuaciones de velocidad continuas y determinista no predicen con precisión la reacciones celulares ya que se basan en las reacciones a granel que requieren la interacción de millones de moléculas. Que son típicamente modeladas con un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por el contrario, el algoritmo de Gillespie permite una simulación discreta y estocástica de un sistema con pocos reactivos debido a que cada reacción es simulada explícitamente. Cuando se simula, una realización de Gillespie describe a un camino aleatorio que representa exactamente la distribución de la ecuación maestra.

La base física del algoritmo son las colisiones de las moléculas dentro un recipiente de reacción. Se supone que las colisiones son frecuentes, pero las colisiones con la orientación y la energía correcta son poco frecuentes. Por lo tanto, todas las reacciones en el marco de Gillespie deben involucrar a lo más dos moléculas. La reacciones que involucran tres moléculas se suponen que son muy raras y son modeladas como una sucesión de reacciones binarias. También se supone que el medio ambiente de la reacción esta bien mezclado.

ALGORITMO

Gillespie desarrolla dos formulaciones distintas pero equivalentes: el método directo y el método de la primera reacción. A continuación se muestra un resumen de los pasos para ejecutar el algoritmo (la matemáticas se omite):

1. Inicialización: Se inicializa el número de moléculas del sistema, las constantes de reacción y el generador de números aleatorios.
2. Paso de Monte Carlo: Se genera dos números aleatorios para determinar la siguiente reacción que ocurrirá y el intervalo de tiempo. La probabilidad de una reacción dada para ser elegido es proporcional al número de moléculas de sustrato.
3. Actualización: Se incrementa el paso del tiempo por el tiempo generado aleatoriamente en el paso 2 y se actualiza las moléculas basadas en la reacción que ocurrió.
4. Iteración: Se vuelve al paso 2 al menos que el numero de moléculas sea igual a cero o el tiempo de simulación se ha excedido.

ALGUNAS SIMULACIONES OBTENIDAS CON EL ALGORITMO

LECTURA RECOMENDADAS

• Daniel T. Gillespie (1977). "Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions". The Journal of Physical Chemistry 81 (25): 2340–2361. doi:10.1021/j100540a008.
• Daniel T. Gillespie (1976). "A General Method for Numerically Simulating the Stochastic Time Evolution of Coupled Chemical Reactions". Journal of Computational Physics 22 (4): 403–434. doi:10.1016/0021-9991(76)90041-3.
• Jacob L. Doob (1942). "Topics in the Theory of Markoff Chains". Transactions of the American Mathematical Society 52 (1): 37–64. doi:10.1090/S0002-9947-1942-0006633-7. JSTOR 1990152.
• Jacob L. Doob (1945). "Markoff chains – Denumerable case". Transactions of the American Mathematical Society 58 (3): 455–473. doi:10.2307/1990339. JSTOR 1990339.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 17.7. Stochastic Simulation of Chemical Reaction Networks". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=946.
• A Kolmogorov (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen 104: 415. doi:10.1007/BF01457949. http://www.springerlink.com/content/v724507673277262/fulltext.pdf.
• W Feller (1940). "On the Integro-Differential Equations of Purely Discontinous Markoff Processes". Transactions of the American Mathematical Society 48 (3): 4885–15. JSTOR 1970064.
• David G. Kendall (1950). "An Artificial Realization of a Simple "Birth-and-Death" Process". Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 12 (1): 116–119. JSTOR 2983837.
• Maurice S. Bartlett (1953). "Stochastic Processes or the Statistics of Change". : Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), 2 (1): 44–64. JSTOR 2985327.
• M. Rathinam, L. R. Petzold, Y. Cao, and Daniel T. Gillespie, (2003). "Stiffness in stochastic chemically reacting systems: The implicit tau-leaping method". Journal of Chemical Physics 119 (24): 12784–12794. doi:10.1063/1.1627296.
• Sinitsyn, NA; Hengartner, N; Nemenman, I (2009). "Adiabatic coarse-graining and simulations of stochastic biochemical networks". Proceed. Nat. Acad. Science U. S. A. 106 (20): 10546–10551. doi:10.1073/pnas.0809340106. PMC 2705573. PMID 19525397. http://www.menem.com/~ilya/wiki/images/1/18/Sinitsyn-etal-09.pdf.
• M. A. Gibson and J. Bruck, (2000). "Efficient Exact Stochastic Simulation of Chemical Systems with Many Species and Many Channels". J. Phys. Chem. A 104 (9): 1876–1889. doi:10.1021/jp993732q. http://www.cs.caltech.edu/courses/cs191/paperscs191/JPhysChemA(2000-104)1876.pdf.
• Salis, H; Kaznessis, Y (2005). "Accurate hybrid stochastic simulation of a system of coupled chemical or biochemical reactions". Journal of Chemical Physics 122 (5): 054103. doi:10.1063/1.1835951. PMID 15740306.
• (Slepoy 2008): Slepoy, A; Thompson, AP; Plimpton, SJ (2008). "A constant-time kinetic Monte Carlo algorithm for simulation of large biochemical reaction networks". Journal of Chemical Physics 128 (20): 205101. doi:10.1063/1.2919546. PMID 18513044.
• (Bratsun 2005): D. Bratsun, D. Volfson, J. Hasty, L. Tsimring, (2005). "Delay-induced stochastic oscillations in gene regulation". PNAS 102 (41): 14593–8. doi:10.1073/pnas.0503858102. PMC 1253555. PMID 16199522. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=1253555.
• (Barrio 2005): M. Barrio, K. Burrage, A. Leier and T. Tian, (2006). "Oscillatory Regulation of Hes1: Discrete Stochastic Delay Modelling and Simulation". PLoS Comput Biol 2 (9): 1017. doi:10.1371/journal.pcbi.0020117. PMC 1560403. PMID 16965175. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=1560403.
• (Cai 2007): X. Cai, (2007). "Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions with delays". J. Chem. Phys. 126 (12): 124108. doi:10.1063/1.2710253. PMID 17411109.
• (Barnes 2010): D. Barnes, D. Chu, (2010). Introduction to Modelling for Biosciences. Springer Verlag.

• (Ramaswamy 2009): R. Ramaswamy, N. Gonzalez-Segredo, I. F. Sbalzarini, (2009). "A new class of highly efficient exact stochastic simulation algorithms for chemical reaction networks". J. Chem. Phys. 130 (24): 244104. doi:10.1063/1.3154624. PMID 19566139.
• (Ramaswamy 2010): R. Ramaswamy, I. F. Sbalzarini, (2010). "A partial-propensity variant of the composition-rejection stochastic simulation algorithm for chemical reaction networks". J. Chem. Phys. 132 (4): 044102. doi:10.1063/1.3297948. PMID 20113014.
• (Indurkhya 2010): S. Indurkhya, J. Beal, (2005). Isalan, Mark. ed. "Reaction Factoring and Bipartite Update Graphs Accelerate the Gillespie Algorithm for Large-Scale Biochemical Systems". PLoS ONE 5 (1): e8125. doi:10.1371/journal.pone.0008125. PMC 2798956. PMID 20066048. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=2798956.
• (Ramaswamy 2011): R. Ramaswamy, I. F. Sbalzarini, (2011). "A partial-propensity formulation of the stochastic simulation algorithm for chemical reaction networks with delays". J. Chem. Phys. 134 (1): 014106. doi:10.1063/1.3521496. PMID 21218996

Si te ha gustado este artículo, compártelo en facebook, twitter, google+, coméntalo, envíalo por correo, y si quieres mas información, pídela. Si quieres recibir estos artículos por correo electrónico, subscríbete a este blog usando la opción que está en el panel derecho. Finalmente, si no te ha gustado, critícalo. Tu tienes completo control sobre los contenidos de este blog.